Cuando un problema de programación no lineal tiene sólo una o dos variables, se
puede representar gráficamente de forma muy parecida al ejemplo de la Wyndor
Glass Co. de programación lineal, de la sección 3.1. Se verán unos cuantos
ejemplos, ya que una representación gráfica de este tipo proporciona una visión
global de las propiedades de las soluciones óptimas de programación lineal y no
lineal. Con el fin de hacer hincapié en las diferencias entre programación lineal y
no lineal, se usarán algunas variaciones no lineales del problema de la Wyndor
Glass Co.
La figura 13.5 muestra lo que ocurre con este problema si los únicos cambios que
se hacen al modelo de la sección 3.1 son que la segunda y tercera restricciones
funcionales se sustituyen por la restricción no lineal 9x{ + 5x2 < 216. Compare las
figuras 13.5 y 3.3. La solución óptima sigue siendo (a^ , x2) = (2,6). Todavía se
encuentra sobre la frontera de la región factible, pero no es una solución factible
en un vértice (FEV). La solución óptima pudo haber sido una solución FEV con
una función objetivo diferente (verifique Z = 3xx + x2), pero que no necesite serlo
significa que ya no se puede aprovechar la gran simplificación utilizada en
programación lineal que permite limitar la búsqueda de una solución óptima para
las soluciones FEV
Ahora suponga que las restricciones lineales de la sección 3.1 se conservan sin
cambio, pero que la función objetivo se hace no lineal. Por ejemplo, si
entonces la representación gráfica en la figura 13.6 indica que la solución óptima
es xx – x2 = 5, que de nuevo se encuentra en la frontera de la región factible. (El
valor óptimo de Z es Z = 857; así, la figura 13.6 muestra el hecho de que el lugar
geométrico de todos los puntos para los que Z = 857 tiene en común con la región
factible sólo este punto, mientras que el lugar geométrico de los puntos con Z más
grande no toca la región factible en ningún punto.) Por otro lado, si
entonces la figura 13.7 ilustra que la solución óptima es (*l5 x2 ) = (3,3), que se
encuentra dentro de la frontera de la región factible. (Se puede comprobar que
esta solución es óptima si se usa cálculo para derivarla como un máximo global no
restringido; como también satisface las restricciones, debe ser óptima para el
problema restringido.) Por lo tanto, es necesario que
un algoritmo general para resolver problemas de este tipo tome en cuenta todas
las soluciones en la región factible, y no sólo aquellas que están sobre la frontera.
Otra complicación que surge en programación no lineal es que un máximo local no
necesariamente es un máximogbbal (la solución óptima global). Por ejemplo,
considere la función de una sola variable graficada en la figura 13.8. En el
intervalo 0 < x < 5, esta función tiene tres máximos locales — x=0,x=2,x=4—pero
sólo uno de éstos—x – 4—es un máximo global. (De igual manera, existen
mínimos locales en x = 1,3 y 5, pero sólo x = 5 es un mínimo global.)
En general, los algoritmos de programación no lineal no pueden distinguir entre un
máximo local y un máximo global (excepto si encuentran otro máximo local mejor),
por lo que es determinante conocer las condiciones bajo las que se garantiza que
un máximo local es un máximo global en la región factible. Recuerde que en
cálculo, cuando se maximiza una función ordinaria (doblemente diferenciable) de
una sola variable f(x) sin restricciones, esta garantía está dada cuando
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