3.4.2 Máximos y mínimos

Puntos minimax.

El punto minimax de la función lagrangiana es otro concepto relacionado con la
solución de un problema de optimización. Si bien su definición no le hace útil a la
hora de la resolución directa del problema, sí constituye un paso intermedio muy
importante en la obtención del problema dual, que estudiaremos más adelante. En
esta sección definimos dicho punto y estudiamos su relación con otro concepto, el
punto de silla de la lagrangiana.

La relación del punto minimax con la solución del problema de programación no
lineal se obtiene de forma inmediata sin mas que tener en cuenta que:

Min L (x, ë ) = f (x) − Max ët [g(x) − b]R m+R m+

Si gi (x) – bi ≤ 0, entonces ëi [gi(x) - bi] ≤ 0, luego

Max ëi ( gi (x) − bi ) = 0R m+ (se alcanza en ë = 0). Por tanto, si x ∈ X, Min L (x, ë )
= f (x) .R m+ Si gi (x) – bi > 0, entonces Sup ëi [gi(x) - bi] = ∞, por lo que en este
caso no se alcanza el R m+ mínimo de la Lagrangiana.

Por tanto,
Max Min L (x, ë ) = Max f (x) D R m+ X

Así pues, si (x0, ë0) es un punto minimax, x0 es una solución óptima del problema
original.